다음 신호 를 푸리에 변환한 는?
2014년 국가직 9급 전자공학개론 19번
2014년도 시행 • 19번 문항
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정답: 3번
■ 1단계: 사각 펄스 신호 $f(t)$의 푸리에 변환식 수립
• 시간 영역 사각 펄스의 푸리에 변환 정의:
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$$
• 적분 구간 $-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}$ 및 $f(t) = 4$ 대입:
$$F(\omega) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 e^{-j\omega t} dt$$
■ 2단계: 정적분 계산 및 오일러 공식 적용
• 정적분 수행:
$$F(\omega) = 4 \left[ \frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{4}{-j\omega} \left( e^{-j\frac{\pi\omega}{2}} - e^{j\frac{\pi\omega}{2}} \right) = \frac{4}{j\omega} \left( e^{j\frac{\pi\omega}{2}} - e^{-j\frac{\pi\omega}{2}} \right)$$
• 오일러 공식에 따른 $\sin$ 함수 변환 ($e^{j\theta} - e^{-j\theta} = 2j\sin\theta$):
$$e^{j\frac{\pi\omega}{2}} - e^{-j\frac{\pi\omega}{2}} = 2j \sin\left(\frac{\pi\omega}{2}\right)$$
• 대입 후 정리:
$$F(\omega) = \frac{4}{j\omega} \times 2j \sin\left(\frac{\pi\omega}{2}\right) = \frac{8\sin(\frac{\pi\omega}{2})}{\omega}$$
■ 최종 결과:
• 푸리에 변환식 $F(\omega)$는 $\frac{8\sin(\frac{\pi\omega}{2})}{\omega}$ (③번)
• 시간 영역 사각 펄스의 푸리에 변환 정의:
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$$
• 적분 구간 $-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}$ 및 $f(t) = 4$ 대입:
$$F(\omega) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 e^{-j\omega t} dt$$
■ 2단계: 정적분 계산 및 오일러 공식 적용
• 정적분 수행:
$$F(\omega) = 4 \left[ \frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{4}{-j\omega} \left( e^{-j\frac{\pi\omega}{2}} - e^{j\frac{\pi\omega}{2}} \right) = \frac{4}{j\omega} \left( e^{j\frac{\pi\omega}{2}} - e^{-j\frac{\pi\omega}{2}} \right)$$
• 오일러 공식에 따른 $\sin$ 함수 변환 ($e^{j\theta} - e^{-j\theta} = 2j\sin\theta$):
$$e^{j\frac{\pi\omega}{2}} - e^{-j\frac{\pi\omega}{2}} = 2j \sin\left(\frac{\pi\omega}{2}\right)$$
• 대입 후 정리:
$$F(\omega) = \frac{4}{j\omega} \times 2j \sin\left(\frac{\pi\omega}{2}\right) = \frac{8\sin(\frac{\pi\omega}{2})}{\omega}$$
■ 최종 결과:
• 푸리에 변환식 $F(\omega)$는 $\frac{8\sin(\frac{\pi\omega}{2})}{\omega}$ (③번)