다음 회로에서 일 때 스위치가 ‘a’ 위치에서 정상상태에 도달한 후 t=0일 때 스위치를 ‘b’의 위치로 움직 인다면, t>0일 때 회로에 흐르는 전류 i(t)는? (단, 는 회 로의 시상수이다.)
2008년 국가직 9급 전자공학개론 19번
2008년도 시행 • 19번 문항
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정답: 3번
■ 1단계: 초기 조건($t = 0^-$) 인덕터 전류 계산
• 스위치가 'a'에 닿아 오랜 시간이 흐르면 인덕터는 단락 상태가 되며, 전원 극성에 따라 초기 전류는 정의된 $i(t)$ 방향과 반대 방향으로 흐릅니다:
$$i(0^+) = i(0^-) = -\frac{E}{R}$$
■ 2단계: 스위치 'b' 전환 후 ($t > 0$) 정상상태 전류($i(\infty)$) 계산
• 스위치가 'b'로 이동하면 새로운 전원 $E$에 의해 충분한 시간 경과 후의 최종 전류는 다음과 같이 수렴합니다:
$$i(\infty) = \frac{E}{R}$$
■ 3단계: 1계 RL 과도 응답 일반해 도출
• 1계 회로의 과도 전류 공식 ($i(t) = i(\infty) + [i(0^+) - i(\infty)]e^{-t/\tau}$) 적용:
$$i(t) = \frac{E}{R} + \left(-\frac{E}{R} - \frac{E}{R}\right)e^{-t/\tau} = \frac{E}{R}\left(1 - 2e^{-t/\tau}\right)$$
■ 최종 결과:
• 회로에 흐르는 전류 $i(t)$는 $\left(\frac{E}{R}\right)\left(1 - 2e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ (③번)
• 스위치가 'a'에 닿아 오랜 시간이 흐르면 인덕터는 단락 상태가 되며, 전원 극성에 따라 초기 전류는 정의된 $i(t)$ 방향과 반대 방향으로 흐릅니다:
$$i(0^+) = i(0^-) = -\frac{E}{R}$$
■ 2단계: 스위치 'b' 전환 후 ($t > 0$) 정상상태 전류($i(\infty)$) 계산
• 스위치가 'b'로 이동하면 새로운 전원 $E$에 의해 충분한 시간 경과 후의 최종 전류는 다음과 같이 수렴합니다:
$$i(\infty) = \frac{E}{R}$$
■ 3단계: 1계 RL 과도 응답 일반해 도출
• 1계 회로의 과도 전류 공식 ($i(t) = i(\infty) + [i(0^+) - i(\infty)]e^{-t/\tau}$) 적용:
$$i(t) = \frac{E}{R} + \left(-\frac{E}{R} - \frac{E}{R}\right)e^{-t/\tau} = \frac{E}{R}\left(1 - 2e^{-t/\tau}\right)$$
■ 최종 결과:
• 회로에 흐르는 전류 $i(t)$는 $\left(\frac{E}{R}\right)\left(1 - 2e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ (③번)