그림과 같은 회로에서 스위치는 오랫동안 단자 a에 있었고, 에서 단자 b로 이동하였다. 일 때 전압 의 값은?
2019년 지방직 9급 전자공학개론 14번
2019년도 시행 • 14번 문항
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정답: 4번
■ 1단계: $t = 0^-$ (스위치가 a에 장시간 부착된 직류 상태) 분석
• 오랜 시간 동안 스위치가 a 단자에 있었으므로 커패시터($10\text{ }\mu\text{F}$)는 DC 전압으로 완충되어 개방된 상태입니다.
• 완충 전압은 좌측 전압원 전위와 완전히 동일해집니다:
$$v(0^-) = 30\text{ [V]}$$
• 커패시터 양단 전압의 연속성에 의해 스위치가 전환된 순간의 전위는 유지됩니다:
$$v(0^+) = v(0^-) = 30\text{ [V]}$$
■ 2단계: 스위치가 b 단자로 이동한 후의 정상상태치($v(\infty)$) 분석
• $t \to \infty$인 정상상태에 도달하면 커패시터는 다시 개방 회로로 동작합니다.
• 우측 분로 회로망에서 $15\text{ [V]}$ DC 소스로부터 유발되는 중간 접점 마디의 전위 $V_x$를 분배식으로 연산합니다:
- 전류는 $15\text{ [V]}$ 원으로부터 $6\text{ k}\Omega$과 $3\text{ k}\Omega$ 직렬 경로를 통해 접지로 흐릅니다.
- 해당 노드의 전위 $V_x$:
$$V_x = 15 \times \frac{3\text{ k}\Omega}{6\text{ k}\Omega + 3\text{ k}\Omega} = 15 \times \frac{3}{9} = 5\text{ [V]}$$
- 커패시터 전류가 0이므로 직렬로 연결된 스위치 쪽의 $3\text{ k}\Omega$ 저항에 의한 전압 강하는 존재하지 않습니다.
- 따라서 최종 도달 완충 전압:
$$v(\infty) = V_x = 5\text{ [V]}$$
■ 3단계: 테브난 등가 저항 및 시정수($\tau$) 유도
• 커패시터 단자에서 바라본 테브난 등가 저항 $R_{th}$는 독립 전압원을 단락하고 구합니다:
$$R_{th} = 3\text{ k}\Omega + (3\text{ k}\Omega \parallel 6\text{ k}\Omega) = 3\text{ k}\Omega + 2\text{ k}\Omega = 5\text{ k}\Omega$$
• 회로망의 시정수 $\tau$ 산출:
$$\tau = R_{th} \cdot C = 5\text{ k}\Omega \times 10\text{ }\mu\text{F} = (5 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-6}) = 0.05\text{ [s]}$$
• 감쇄 인자 역수:
$$\frac{1}{\tau} = \frac{1}{0.05} = 20\text{ [s}^{-1}\text{]}$$
■ 4단계: 과도 상태 수식 합성
• 과도 일반 공식을 결합합니다:
$$v(t) = v(\infty) + [v(0^+) - v(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}$$
$$v(t) = 5 + (30 - 5) e^{-20t} = 5 + 25 e^{-20t}\text{ [V]}$$
■ 최종 결과:
• 올바른 전압 과도 수식은 $(5 + 25 e^{-20t})\text{ [V]}$ 입니다. (④번)
• 오랜 시간 동안 스위치가 a 단자에 있었으므로 커패시터($10\text{ }\mu\text{F}$)는 DC 전압으로 완충되어 개방된 상태입니다.
• 완충 전압은 좌측 전압원 전위와 완전히 동일해집니다:
$$v(0^-) = 30\text{ [V]}$$
• 커패시터 양단 전압의 연속성에 의해 스위치가 전환된 순간의 전위는 유지됩니다:
$$v(0^+) = v(0^-) = 30\text{ [V]}$$
■ 2단계: 스위치가 b 단자로 이동한 후의 정상상태치($v(\infty)$) 분석
• $t \to \infty$인 정상상태에 도달하면 커패시터는 다시 개방 회로로 동작합니다.
• 우측 분로 회로망에서 $15\text{ [V]}$ DC 소스로부터 유발되는 중간 접점 마디의 전위 $V_x$를 분배식으로 연산합니다:
- 전류는 $15\text{ [V]}$ 원으로부터 $6\text{ k}\Omega$과 $3\text{ k}\Omega$ 직렬 경로를 통해 접지로 흐릅니다.
- 해당 노드의 전위 $V_x$:
$$V_x = 15 \times \frac{3\text{ k}\Omega}{6\text{ k}\Omega + 3\text{ k}\Omega} = 15 \times \frac{3}{9} = 5\text{ [V]}$$
- 커패시터 전류가 0이므로 직렬로 연결된 스위치 쪽의 $3\text{ k}\Omega$ 저항에 의한 전압 강하는 존재하지 않습니다.
- 따라서 최종 도달 완충 전압:
$$v(\infty) = V_x = 5\text{ [V]}$$
■ 3단계: 테브난 등가 저항 및 시정수($\tau$) 유도
• 커패시터 단자에서 바라본 테브난 등가 저항 $R_{th}$는 독립 전압원을 단락하고 구합니다:
$$R_{th} = 3\text{ k}\Omega + (3\text{ k}\Omega \parallel 6\text{ k}\Omega) = 3\text{ k}\Omega + 2\text{ k}\Omega = 5\text{ k}\Omega$$
• 회로망의 시정수 $\tau$ 산출:
$$\tau = R_{th} \cdot C = 5\text{ k}\Omega \times 10\text{ }\mu\text{F} = (5 \times 10^3) \times (10 \times 10^{-6}) = 0.05\text{ [s]}$$
• 감쇄 인자 역수:
$$\frac{1}{\tau} = \frac{1}{0.05} = 20\text{ [s}^{-1}\text{]}$$
■ 4단계: 과도 상태 수식 합성
• 과도 일반 공식을 결합합니다:
$$v(t) = v(\infty) + [v(0^+) - v(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}}$$
$$v(t) = 5 + (30 - 5) e^{-20t} = 5 + 25 e^{-20t}\text{ [V]}$$
■ 최종 결과:
• 올바른 전압 과도 수식은 $(5 + 25 e^{-20t})\text{ [V]}$ 입니다. (④번)