시스템의 전달함수 (ROC: )로 주어질 때, 임펄스 응답 는? (단, 여기서 ROC는 수렴영역을 말하고, 는 의 라플라스 변환 값을 나타낸다.)
2018년 지방직 9급 전자공학개론 9번
2018년도 시행 • 9번 문항
💡 정답 및 상세 해설 확인하기
정답: 1번
■ 1단계: 부분분수 전개
• $H(s) = \frac{3s+5}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$
• $A = \left.\frac{3s+5}{s+2}\right|_{s=-1} = \frac{2}{1} = 2$
• $B = \left.\frac{3s+5}{s+1}\right|_{s=-2} = \frac{-1}{-1} = 1$
• 따라서 $H(s) = \frac{2}{s+1} + \frac{1}{s+2}$
■ 2단계: 수렴영역($-2 < \text{Re}(s) < -1$)에 따른 역변환
• 극점 $s = -1$은 $\text{Re}(s) < -1$이므로 좌측 비인과적 신호:
$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s+1}\right\} = -2e^{-t}u(-t)$$
• 극점 $s = -2$는 $\text{Re}(s) > -2$이므로 우측 인과적 신호:
$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\} = e^{-2t}u(t)$$
• 종합 임펄스 응답:
$$h(t) = e^{-2t}u(t) - 2e^{-t}u(-t)$$
■ 최종 결과:
• $h(t) = e^{-2t}u(t) - 2e^{-t}u(-t)$ (①번)
• $H(s) = \frac{3s+5}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$
• $A = \left.\frac{3s+5}{s+2}\right|_{s=-1} = \frac{2}{1} = 2$
• $B = \left.\frac{3s+5}{s+1}\right|_{s=-2} = \frac{-1}{-1} = 1$
• 따라서 $H(s) = \frac{2}{s+1} + \frac{1}{s+2}$
■ 2단계: 수렴영역($-2 < \text{Re}(s) < -1$)에 따른 역변환
• 극점 $s = -1$은 $\text{Re}(s) < -1$이므로 좌측 비인과적 신호:
$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s+1}\right\} = -2e^{-t}u(-t)$$
• 극점 $s = -2$는 $\text{Re}(s) > -2$이므로 우측 인과적 신호:
$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+2}\right\} = e^{-2t}u(t)$$
• 종합 임펄스 응답:
$$h(t) = e^{-2t}u(t) - 2e^{-t}u(-t)$$
■ 최종 결과:
• $h(t) = e^{-2t}u(t) - 2e^{-t}u(-t)$ (①번)