한 변의 길이가 인 정사각형의 꼭짓점에 다음과 같이 또는 의 전하량을 가지는 전하를 놓을 때 정사각형의 중심에서 전계[V/m]의 세기는?
2016년 지방직 9급 전자공학개론 16번
2016년도 시행 • 16번 문항
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정답: 4번
■ 1단계: 중심점까지의 거리 및 단일 전하 전계 계산
• 중심점에서 각 꼭짓점까지의 거리:
$$r = \frac{\sqrt{2}}{2}a$$
• 단일 전하 $Q$에 의한 전계 크기 기준:
$$E_0 = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 \left(\frac{a^2}{2}\right)} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$$
■ 2단계: 대각선별 알짜 전계 벡터 계산
• 두 대각선 각각에서 $+2Q$와 $+Q$가 마주보므로 각 대각선 방향의 알짜 전계 크기는:
$$E_{\text{diag}} = 2E_0 - E_0 = E_0$$
■ 3단계: 두 수직 벡터의 합성
• 두 대각선 방향 전계 벡터는 서로 $90^\circ$를 이루므로:
$$E = \sqrt{E_0^2 + E_0^2} = \sqrt{2}E_0 = \sqrt{2}\left(\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 a^2}\right) = \frac{Q}{\sqrt{2}\pi\epsilon_0 a^2}$$
■ 최종 결과:
• 중심에서의 전계 세기는 $\frac{Q}{\sqrt{2}\pi \epsilon_0 a^2}$ (④번)
• 중심점에서 각 꼭짓점까지의 거리:
$$r = \frac{\sqrt{2}}{2}a$$
• 단일 전하 $Q$에 의한 전계 크기 기준:
$$E_0 = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 \left(\frac{a^2}{2}\right)} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 a^2}$$
■ 2단계: 대각선별 알짜 전계 벡터 계산
• 두 대각선 각각에서 $+2Q$와 $+Q$가 마주보므로 각 대각선 방향의 알짜 전계 크기는:
$$E_{\text{diag}} = 2E_0 - E_0 = E_0$$
■ 3단계: 두 수직 벡터의 합성
• 두 대각선 방향 전계 벡터는 서로 $90^\circ$를 이루므로:
$$E = \sqrt{E_0^2 + E_0^2} = \sqrt{2}E_0 = \sqrt{2}\left(\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 a^2}\right) = \frac{Q}{\sqrt{2}\pi\epsilon_0 a^2}$$
■ 최종 결과:
• 중심에서의 전계 세기는 $\frac{Q}{\sqrt{2}\pi \epsilon_0 a^2}$ (④번)