다음 (가) 2차 대역통과필터의 전달함수에 대응하는 (나) 회로에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, 연산증폭기는 이상적이다)
2026년 국가직 9급 전자공학개론 20번
2026년도 시행 • 20번 문항
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정답: 3번
■ 1단계: 마디해석법(KCL)을 통한 회로 전달함수 유도
• 이 회로는 다중 귀환 대역통과 필터(MFB BPF) 회로입니다.
• 저항과 커패시터 접속점 전압을 $V_x$, 연산증폭기의 반전(-) 단자 전압을 $V_n$이라 하면 이상적인 연산증폭기에서 가상 접지($V_n = 0\text{ V}$)가 성립합니다.
• $V_x$ 노드에서의 KCL:
$\frac{V_{in} - V_x}{R} + \frac{V_{out} - V_x}{1/sC} + \frac{V_n - V_x}{1/sC} = 0$
$V_n = 0$ 을 대입하여 정리하면:
$\frac{V_{in}}{R} + sC V_{out} = V_x \left(\frac{1}{R} + 2sC\right) \quad \cdots \text{(식 1)}$
• $V_n$ 노드($V_n = 0$)에서의 KCL:
$sC(V_x - V_n) + \frac{V_{out} - V_n}{R} = 0 \quad \rightarrow \quad sC V_x + \frac{V_{out}}{R} = 0$
$V_x = -\frac{V_{out}}{sRC} \quad \cdots \text{(식 2)}$
• (식 2)를 (식 1)에 대입하여 정리하면 전달함수 $H(s)$는:
$\frac{V_{in}}{R} + sC V_{out} = -\frac{V_{out}}{sRC}\left(\frac{1 + 2sRC}{R}\right)$
$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{-\frac{1}{RC}s}{s^2 + \frac{2}{RC}s + \frac{1}{(RC)^2}}$
■ 2단계: 표준 2차 대역통과필터 전달함수와 계수 비교
• 표준 2차 BPF 전달함수:
$H(s) = \frac{K\left(\frac{\omega_0}{Q}\right)s}{s^2 + \left(\frac{\omega_0}{Q}\right)s + \omega_0^2}$
• 계수 비교:
- 중심 각주파수: $\omega_0^2 = \frac{1}{(RC)^2} \quad \rightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{RC}\text{ [rad/s]}$ (②번 설명 참)
- 양호도(Q-factor): $\frac{\omega_0}{Q} = \frac{2}{RC} \quad \rightarrow \quad \frac{1/RC}{Q} = \frac{2}{RC} \quad \rightarrow \quad Q = \frac{1}{2}$ (①번 설명 참)
- 중심주파수 이득: $K\left(\frac{\omega_0}{Q}\right) = K \cdot \frac{2}{RC} = -\frac{1}{RC} \quad \rightarrow \quad K = -\frac{1}{2}$
따라서 중심 각주파수에서의 전압이득 크기 $|K| = \frac{1}{2}$ 입니다. (|K| = 2 설명은 틀림)
- 대역폭(BW):
$BW_{rad} = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{2}{RC}\text{ [rad/s]}$
$BW = \frac{BW_{rad}}{2\pi} = \frac{1}{\pi RC}\text{ [Hz]}$ (④번 설명 참)
■ 최종 결과:
• 옳지 않은 것은 ③번
• 이 회로는 다중 귀환 대역통과 필터(MFB BPF) 회로입니다.
• 저항과 커패시터 접속점 전압을 $V_x$, 연산증폭기의 반전(-) 단자 전압을 $V_n$이라 하면 이상적인 연산증폭기에서 가상 접지($V_n = 0\text{ V}$)가 성립합니다.
• $V_x$ 노드에서의 KCL:
$\frac{V_{in} - V_x}{R} + \frac{V_{out} - V_x}{1/sC} + \frac{V_n - V_x}{1/sC} = 0$
$V_n = 0$ 을 대입하여 정리하면:
$\frac{V_{in}}{R} + sC V_{out} = V_x \left(\frac{1}{R} + 2sC\right) \quad \cdots \text{(식 1)}$
• $V_n$ 노드($V_n = 0$)에서의 KCL:
$sC(V_x - V_n) + \frac{V_{out} - V_n}{R} = 0 \quad \rightarrow \quad sC V_x + \frac{V_{out}}{R} = 0$
$V_x = -\frac{V_{out}}{sRC} \quad \cdots \text{(식 2)}$
• (식 2)를 (식 1)에 대입하여 정리하면 전달함수 $H(s)$는:
$\frac{V_{in}}{R} + sC V_{out} = -\frac{V_{out}}{sRC}\left(\frac{1 + 2sRC}{R}\right)$
$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{-\frac{1}{RC}s}{s^2 + \frac{2}{RC}s + \frac{1}{(RC)^2}}$
■ 2단계: 표준 2차 대역통과필터 전달함수와 계수 비교
• 표준 2차 BPF 전달함수:
$H(s) = \frac{K\left(\frac{\omega_0}{Q}\right)s}{s^2 + \left(\frac{\omega_0}{Q}\right)s + \omega_0^2}$
• 계수 비교:
- 중심 각주파수: $\omega_0^2 = \frac{1}{(RC)^2} \quad \rightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{RC}\text{ [rad/s]}$ (②번 설명 참)
- 양호도(Q-factor): $\frac{\omega_0}{Q} = \frac{2}{RC} \quad \rightarrow \quad \frac{1/RC}{Q} = \frac{2}{RC} \quad \rightarrow \quad Q = \frac{1}{2}$ (①번 설명 참)
- 중심주파수 이득: $K\left(\frac{\omega_0}{Q}\right) = K \cdot \frac{2}{RC} = -\frac{1}{RC} \quad \rightarrow \quad K = -\frac{1}{2}$
따라서 중심 각주파수에서의 전압이득 크기 $|K| = \frac{1}{2}$ 입니다. (|K| = 2 설명은 틀림)
- 대역폭(BW):
$BW_{rad} = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{2}{RC}\text{ [rad/s]}$
$BW = \frac{BW_{rad}}{2\pi} = \frac{1}{\pi RC}\text{ [Hz]}$ (④번 설명 참)
■ 최종 결과:
• 옳지 않은 것은 ③번