다음 RLC 병렬공진회로의 전달함수 는? (단, 는 각주파수이다)
2022년 국가직 9급 전자공학개론 9번
2022년도 시행 • 9번 문항
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정답: 3번
■ 1단계: RLC 병렬 회로의 합성 어드미턴스 및 전달함수 수식화
• 저항 $R$, 인덕터 $L$, 커패시터 $C$가 병렬로 연결되어 있으므로 전체 어드미턴스 $Y(\omega)$는 다음과 같습니다:
$Y(\omega) = \frac{1}{R} + \frac{1}{j\omega L} + j\omega C = \frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)$
• 전달함수 $H(\omega) = \frac{V(\omega)}{I(\omega)} = \frac{1}{Y(\omega)}$:
$H(\omega) = \frac{1}{\frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)} = \frac{R}{1 + jR\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)}$
■ 2단계: 공진 특성 파라미터 형태로 식 변형
• 분모의 허수부에서 $\sqrt{\frac{C}{L}}$을 묶어내어 공진 각주파수($\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$) 형태로 정리합니다:
$\omega C - \frac{1}{\omega L} = \sqrt{\frac{C}{L}} \left(\omega \sqrt{LC} - \frac{1}{\omega \sqrt{LC}}\right)$
*(전개 시: $\sqrt{\frac{C}{L}} \cdot \omega\sqrt{LC} = \omega C$, $\sqrt{\frac{C}{L}} \cdot \frac{1}{\omega\sqrt{LC}} = \frac{1}{\omega L}$)*
• 대입하여 최종 전달함수 수식 도출:
$H(\omega) = \frac{R}{1 + jR\sqrt{\frac{C}{L}}\left(\omega\sqrt{LC} - \frac{1}{\omega\sqrt{LC}}\right)}$
■ 최종 결과:
• 올바른 전달함수는 ③번
• 저항 $R$, 인덕터 $L$, 커패시터 $C$가 병렬로 연결되어 있으므로 전체 어드미턴스 $Y(\omega)$는 다음과 같습니다:
$Y(\omega) = \frac{1}{R} + \frac{1}{j\omega L} + j\omega C = \frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)$
• 전달함수 $H(\omega) = \frac{V(\omega)}{I(\omega)} = \frac{1}{Y(\omega)}$:
$H(\omega) = \frac{1}{\frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)} = \frac{R}{1 + jR\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)}$
■ 2단계: 공진 특성 파라미터 형태로 식 변형
• 분모의 허수부에서 $\sqrt{\frac{C}{L}}$을 묶어내어 공진 각주파수($\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$) 형태로 정리합니다:
$\omega C - \frac{1}{\omega L} = \sqrt{\frac{C}{L}} \left(\omega \sqrt{LC} - \frac{1}{\omega \sqrt{LC}}\right)$
*(전개 시: $\sqrt{\frac{C}{L}} \cdot \omega\sqrt{LC} = \omega C$, $\sqrt{\frac{C}{L}} \cdot \frac{1}{\omega\sqrt{LC}} = \frac{1}{\omega L}$)*
• 대입하여 최종 전달함수 수식 도출:
$H(\omega) = \frac{R}{1 + jR\sqrt{\frac{C}{L}}\left(\omega\sqrt{LC} - \frac{1}{\omega\sqrt{LC}}\right)}$
■ 최종 결과:
• 올바른 전달함수는 ③번