입력신호 를 인가하여 부하 임피던스 에 최대 전력이 전달되도록 다음과 같은 회로를 구성할 때, 옳지 않은 것은?
2021년 국가직 9급 전자공학개론 6번
2021년도 시행 • 6번 문항
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정답: 4번
■ 1단계: 테브난 등가 임피던스($Z_{th}$) 산출
• 입력 신호의 각주파수는 $\omega = 10^6\text{ rad/s}$입니다.
• 병렬로 연결된 저항 $R = \frac{1}{3}\text{ }\Omega$과 커패시터 $C = 4\text{ }\mu\text{F}$의 병렬 등가 어드미턴스($Y_{th}$):
$$Y_{th} = \frac{1}{R} + j\omega C = 3 + j(10^6 \times 4 \times 10^{-6}) = 3 + j4\text{ S}$$
• 테브난 등가 임피던스 $Z_{th}$는 어드미턴스의 역수입니다:
$$Z_{th} = \frac{1}{Y_{th}} = \frac{1}{3 + j4} = \frac{3 - j4}{3^2 + 4^2} = \frac{3}{25} - j\frac{4}{25}\text{ }\Omega$$
■ 2단계: 최대 전력 전달을 위한 부하 임피던스 $Z_L$ 결정 (보기 ①, ②, ③ 판별)
• 교류 회로에서 최대 전력이 부하로 전달되기 위한 조건은 부하 임피던스 $Z_L$이 내부 테브난 임피던스 $Z_{th}$의 복소공액(켤레복소수)과 일치해야 합니다:
$$Z_L = Z_{th}^* = \frac{3}{25} + j\frac{4}{25}\text{ }\Omega$$
(②번, ③번 옳은 설명)
• 순수 저항 전류 $i_1(t)$와 커패시터 전류 $i_2(t)$는 $90^\circ$의 위상차를 가지므로 두 전류의 위상은 서로 다릅니다. (①번 옳은 설명)
■ 3단계: 부하에 전달되는 최대 평균전력 계산 (보기 ④ 판별)
• 전원 전류의 진폭 $I_m = 120\text{ A}$ (실효값 $I_{rms} = \frac{120}{\sqrt{2}}\text{ A}$)
• 테브난 등가 개방 전압 진폭($V_{th,m}$):
$$V_{th,m} = I_m \times |Z_{th}| = 120 \times \frac{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}{25} = 120 \times \frac{5}{25} = 24\text{ V}$$
• 부하 $Z_L = Z_{th}^* = R_{th} - jX_{th}$일 때 부하의 실수부 저항 $R_L = R_{th} = \frac{3}{25}\text{ }\Omega$에 전달되는 최대 평균전력($P_{\max}$):
$$P_{\max} = \frac{|V_{th,rms}|^2}{4R_{th}} = \frac{(24 / \sqrt{2})^2}{4 \times \frac{3}{25}} = \frac{288}{\frac{12}{25}} = 288 \times \frac{25}{12} = 600\text{ W}$$
• 따라서 보기 ④번의 $300\text{ W}$는 잘못된 설명입니다.
■ 최종 결과:
• 옳지 않은 설명은 ④번
• 입력 신호의 각주파수는 $\omega = 10^6\text{ rad/s}$입니다.
• 병렬로 연결된 저항 $R = \frac{1}{3}\text{ }\Omega$과 커패시터 $C = 4\text{ }\mu\text{F}$의 병렬 등가 어드미턴스($Y_{th}$):
$$Y_{th} = \frac{1}{R} + j\omega C = 3 + j(10^6 \times 4 \times 10^{-6}) = 3 + j4\text{ S}$$
• 테브난 등가 임피던스 $Z_{th}$는 어드미턴스의 역수입니다:
$$Z_{th} = \frac{1}{Y_{th}} = \frac{1}{3 + j4} = \frac{3 - j4}{3^2 + 4^2} = \frac{3}{25} - j\frac{4}{25}\text{ }\Omega$$
■ 2단계: 최대 전력 전달을 위한 부하 임피던스 $Z_L$ 결정 (보기 ①, ②, ③ 판별)
• 교류 회로에서 최대 전력이 부하로 전달되기 위한 조건은 부하 임피던스 $Z_L$이 내부 테브난 임피던스 $Z_{th}$의 복소공액(켤레복소수)과 일치해야 합니다:
$$Z_L = Z_{th}^* = \frac{3}{25} + j\frac{4}{25}\text{ }\Omega$$
(②번, ③번 옳은 설명)
• 순수 저항 전류 $i_1(t)$와 커패시터 전류 $i_2(t)$는 $90^\circ$의 위상차를 가지므로 두 전류의 위상은 서로 다릅니다. (①번 옳은 설명)
■ 3단계: 부하에 전달되는 최대 평균전력 계산 (보기 ④ 판별)
• 전원 전류의 진폭 $I_m = 120\text{ A}$ (실효값 $I_{rms} = \frac{120}{\sqrt{2}}\text{ A}$)
• 테브난 등가 개방 전압 진폭($V_{th,m}$):
$$V_{th,m} = I_m \times |Z_{th}| = 120 \times \frac{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}{25} = 120 \times \frac{5}{25} = 24\text{ V}$$
• 부하 $Z_L = Z_{th}^* = R_{th} - jX_{th}$일 때 부하의 실수부 저항 $R_L = R_{th} = \frac{3}{25}\text{ }\Omega$에 전달되는 최대 평균전력($P_{\max}$):
$$P_{\max} = \frac{|V_{th,rms}|^2}{4R_{th}} = \frac{(24 / \sqrt{2})^2}{4 \times \frac{3}{25}} = \frac{288}{\frac{12}{25}} = 288 \times \frac{25}{12} = 600\text{ W}$$
• 따라서 보기 ④번의 $300\text{ W}$는 잘못된 설명입니다.
■ 최종 결과:
• 옳지 않은 설명은 ④번