2019년 국가직 9급 전자공학개론 18번

■ 1단계: 전달함수 $H(s)$의 주파수 응답($s = j\omega$) 변환
• 입력 신호 $x(t) = \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$의 각주파수는 $\omega = \frac{\pi}{2}\text{ rad/s}$입니다.
• 시스템 전달함수 $H(s) = 2\pi s e^{-s}$에 $s = j\omega = j\frac{\pi}{2}$를 대입하여 주파수 응답 $H\left(j\frac{\pi}{2}\right)$를 구합니다:
$$H\left(j\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi \left(j\frac{\pi}{2}\right) e^{-j\frac{\pi}{2}} = j\pi^2 e^{-j\frac{\pi}{2}}$$
• 오일러 공식 및 복소수 극좌표 표현에 의해 $j = e^{j\frac{\pi}{2}}$이므로:
$$H\left(j\frac{\pi}{2}\right) = e^{j\frac{\pi}{2}} \cdot \pi^2 e^{-j\frac{\pi}{2}} = \pi^2 e^{j 0} = \pi^2$$

■ 2단계: 크기 및 위상각 분석
• 주파수 응답의 크기:
$$\left|H\left(j\frac{\pi}{2}\right)\right| = \pi^2$$
• 주파수 응답의 위상각:
$$\angle H\left(j\frac{\pi}{2}\right) = 0^\circ$$

■ 3단계: 정상상태 출력 신호 $y(t)$ 계산
• 정상상태 출력 $y(t)$는 입력 신호의 진폭에 $\left|H(j\omega)\right|$를 곱하고 위상에 $\angle H(j\omega)$를 더해줍니다:
$$y(t) = 1 \times \pi^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}t + 0^\circ\right) = \pi^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$$
• 따라서 출력 신호는 입력 신호 $x(t)$와 완전히 동위상이며 진폭이 $\pi^2$인 정현파입니다.

■ 최종 결과:
• 올바른 출력 신호는 ①번