공진주파수가 인 R, L, C 직렬회로에 주파수가 인 입력신호를 인가하였을 때, 총 리액턴스 성분의 크기가 저항 R 값의 15배가 된다. 이 회로의 (quality factor)는?
2017년 국가직 9급 전자공학개론 9번
2017년도 시행 • 9번 문항
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정답: 2번
■ 1단계: RLC 직렬회로의 공진 조건
• 공진주파수 $f_o$ ($\omega_o = 2\pi f_o$)에서 유도 리액턴스와 용량 리액턴스의 크기가 같습니다:
$$\omega_o L = \frac{1}{\omega_o C}$$
■ 2단계: $2f_o$ 주파수 인가 시의 총 리액턴스 계산
• 인가 주파수가 2배($\omega = 2\omega_o$)가 되었을 때의 리액턴스 변화:
- 유도 리액턴스: $X_L = 2\omega_o L$
- 용량 리액턴스: $X_C = \frac{1}{2\omega_o C} = \frac{1}{2}\omega_o L$
• 회로의 총 리액턴스 크기 $X_{\text{total}}$:
$$X_{\text{total}} = |X_L - X_C| = 2\omega_o L - \frac{1}{2}\omega_o L = \frac{3}{2}\omega_o L$$
■ 3단계: 선택도($Q_o$) 산출
• 총 리액턴스가 저항의 15배라는 조건 적용:
$$\frac{3}{2}\omega_o L = 15R \implies \omega_o L = 10R$$
• 직렬 공진 회로의 선택도(Quality Factor) 정의식을 적용:
$$Q_o = \frac{\omega_o L}{R} = \frac{10R}{R} = 10$$
■ 최종 결과:
• 회로의 선택도 $Q_o$는 10 (②번)
• 공진주파수 $f_o$ ($\omega_o = 2\pi f_o$)에서 유도 리액턴스와 용량 리액턴스의 크기가 같습니다:
$$\omega_o L = \frac{1}{\omega_o C}$$
■ 2단계: $2f_o$ 주파수 인가 시의 총 리액턴스 계산
• 인가 주파수가 2배($\omega = 2\omega_o$)가 되었을 때의 리액턴스 변화:
- 유도 리액턴스: $X_L = 2\omega_o L$
- 용량 리액턴스: $X_C = \frac{1}{2\omega_o C} = \frac{1}{2}\omega_o L$
• 회로의 총 리액턴스 크기 $X_{\text{total}}$:
$$X_{\text{total}} = |X_L - X_C| = 2\omega_o L - \frac{1}{2}\omega_o L = \frac{3}{2}\omega_o L$$
■ 3단계: 선택도($Q_o$) 산출
• 총 리액턴스가 저항의 15배라는 조건 적용:
$$\frac{3}{2}\omega_o L = 15R \implies \omega_o L = 10R$$
• 직렬 공진 회로의 선택도(Quality Factor) 정의식을 적용:
$$Q_o = \frac{\omega_o L}{R} = \frac{10R}{R} = 10$$
■ 최종 결과:
• 회로의 선택도 $Q_o$는 10 (②번)