전달함수 의 크기와 위상이 다음 그림과 같은 필터가 있다. 이 필터의 입력이 일 때, 출력으로 옳은 것은?
2013년 국가직 9급 전자공학개론 9번
2013년도 시행 • 9번 문항
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정답: 1번
■ 1단계: 입력 신호의 주파수 성분 분해
• 입력 신호 $f(t) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} 2 \cos(200k t - 90^\circ)$의 각 주파수 성분:
- $\omega = 0$ (DC 성분): 진폭 $1$
- $\omega = 200\text{ rad/s}$ ($k = 1$): 진폭 $2$, 위상 $-90^\circ$
- $\omega \ge 400\text{ rad/s}$ ($k \ge 2$): 필터의 대역폭 $\omega \le 400\text{ rad/s}$에 의해 크기 이득이 $0$이 되어 차단됩니다.
■ 2단계: 필터 전달계수($H(\omega)$) 적용
• $\omega = 0$ 성분: $|H(0)| = 1, \angle H(0) = 0^\circ$
• $\omega = 200\text{ rad/s}$ 성분:
- 크기 이득: $|H(200)| = 1 - \frac{200}{400} = 0.5$
- 위상 지연: $\angle H(200) = -90^\circ$
■ 3단계: 출력 신호 $y(t)$ 계산 및 삼각함수 정리
• 출력 신호 합성:
$$y(t) = 1 \times |H(0)| + 2 \times |H(200)| \cos(200t - 90^\circ + \angle H(200))$$
$$y(t) = 1 + 2(0.5) \cos(200t - 90^\circ - 90^\circ) = 1 + \cos(200t - 180^\circ) = 1 - \cos(200t)$$
• 반각 공식을 이용한 변환 ($1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2\theta$):
$$y(t) = 1 - \cos(200t) = 2\sin^2(100t)$$
■ 최종 결과:
• 출력 신호는 $2 \sin^2(100t)$ (①번)
• 입력 신호 $f(t) = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} 2 \cos(200k t - 90^\circ)$의 각 주파수 성분:
- $\omega = 0$ (DC 성분): 진폭 $1$
- $\omega = 200\text{ rad/s}$ ($k = 1$): 진폭 $2$, 위상 $-90^\circ$
- $\omega \ge 400\text{ rad/s}$ ($k \ge 2$): 필터의 대역폭 $\omega \le 400\text{ rad/s}$에 의해 크기 이득이 $0$이 되어 차단됩니다.
■ 2단계: 필터 전달계수($H(\omega)$) 적용
• $\omega = 0$ 성분: $|H(0)| = 1, \angle H(0) = 0^\circ$
• $\omega = 200\text{ rad/s}$ 성분:
- 크기 이득: $|H(200)| = 1 - \frac{200}{400} = 0.5$
- 위상 지연: $\angle H(200) = -90^\circ$
■ 3단계: 출력 신호 $y(t)$ 계산 및 삼각함수 정리
• 출력 신호 합성:
$$y(t) = 1 \times |H(0)| + 2 \times |H(200)| \cos(200t - 90^\circ + \angle H(200))$$
$$y(t) = 1 + 2(0.5) \cos(200t - 90^\circ - 90^\circ) = 1 + \cos(200t - 180^\circ) = 1 - \cos(200t)$$
• 반각 공식을 이용한 변환 ($1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2\theta$):
$$y(t) = 1 - \cos(200t) = 2\sin^2(100t)$$
■ 최종 결과:
• 출력 신호는 $2 \sin^2(100t)$ (①번)