다음 주파수 영역 전달함수의 임펄스응답 로서 옳은 것은?
2011년 국가직 9급 전자공학개론 20번
2011년도 시행 • 20번 문항
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정답: 1번
■ 1단계: 전달함수 식 인수분해
• 주어진 전달함수 $H(s)$:
$$H(s) = \frac{100s(s+3)}{10s^2 + 150s + 500} = \frac{100s(s+3)}{10(s+5)(s+10)} = \frac{10s(s+3)}{(s+5)(s+10)} = \frac{10s^2 + 30s}{s^2 + 15s + 50}$$
■ 2단계: 다항식 나눗셈 및 부분분수 전개
• 몫과 나머지로 분리:
$$\frac{10s^2 + 30s}{s^2 + 15s + 50} = 10 - \frac{120s + 500}{s^2 + 15s + 50}$$
• 분수 성분을 부분분수로 전개:
$$\frac{120s + 500}{(s+5)(s+10)} = \frac{A}{s+5} + \frac{B}{s+10}$$
- $A = \left. \frac{120s + 500}{s+10} \right|_{s=-5} = \frac{-600 + 500}{5} = -20$
- $B = \left. \frac{120s + 500}{s+5} \right|_{s=-10} = \frac{-1200 + 500}{-5} = 140$
• $H(s)$ 정리:
$$H(s) = 10 - \left(\frac{-20}{s+5} + \frac{140}{s+10}\right) = 10 + \frac{20}{s+5} - \frac{140}{s+10}$$
■ 3단계: 역 라플라스 변환
• 각 항별 역변환 적용:
$$h(t) = 10\delta(t) + (20e^{-5t} - 140e^{-10t})u(t) = 10\delta(t) + 10(2e^{-5t} - 14e^{-10t})u(t)$$
■ 최종 결과:
• 임펄스응답 $h(t)$는 $10\delta(t) + 10(2e^{-5t} - 14e^{-10t})u(t)$ (①번)
• 주어진 전달함수 $H(s)$:
$$H(s) = \frac{100s(s+3)}{10s^2 + 150s + 500} = \frac{100s(s+3)}{10(s+5)(s+10)} = \frac{10s(s+3)}{(s+5)(s+10)} = \frac{10s^2 + 30s}{s^2 + 15s + 50}$$
■ 2단계: 다항식 나눗셈 및 부분분수 전개
• 몫과 나머지로 분리:
$$\frac{10s^2 + 30s}{s^2 + 15s + 50} = 10 - \frac{120s + 500}{s^2 + 15s + 50}$$
• 분수 성분을 부분분수로 전개:
$$\frac{120s + 500}{(s+5)(s+10)} = \frac{A}{s+5} + \frac{B}{s+10}$$
- $A = \left. \frac{120s + 500}{s+10} \right|_{s=-5} = \frac{-600 + 500}{5} = -20$
- $B = \left. \frac{120s + 500}{s+5} \right|_{s=-10} = \frac{-1200 + 500}{-5} = 140$
• $H(s)$ 정리:
$$H(s) = 10 - \left(\frac{-20}{s+5} + \frac{140}{s+10}\right) = 10 + \frac{20}{s+5} - \frac{140}{s+10}$$
■ 3단계: 역 라플라스 변환
• 각 항별 역변환 적용:
$$h(t) = 10\delta(t) + (20e^{-5t} - 140e^{-10t})u(t) = 10\delta(t) + 10(2e^{-5t} - 14e^{-10t})u(t)$$
■ 최종 결과:
• 임펄스응답 $h(t)$는 $10\delta(t) + 10(2e^{-5t} - 14e^{-10t})u(t)$ (①번)