다음 회로에서 SW1은 오랫동안 열려있다가 에서 닫히고, SW2는 오랫동안 닫혀있다가 에서 열린다. 일 때 커패시터 양단의 전압 를 나타낸 식으로 옳은 것은?
2021년 지방직 9급 전자공학개론 7번
2021년도 시행 • 7번 문항
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정답: 2번
■ 1단계: 초기 전압($v_o(0^+)$) 및 최종 전압($v_o(\infty)$) 계산
• $t < 0$에서 SW2가 닫혀 있었으므로 커패시터 초기 전압:
$$v_o(0^+) = 20\text{ V}$$
• $t > 0$에서 SW1이 닫히고 SW2가 열린 후 정상 상태 도달 시 저항 $20\text{ k}\Omega, 10\text{ k}\Omega$에 의한 전압 분배:
$$v_o(\infty) = 30\text{ V} \times \frac{10\text{ k}\Omega}{20\text{ k}\Omega + 10\text{ k}\Omega} = 10\text{ V}$$
■ 2단계: 등가 저항 및 시정수($\tau$) 계산
• 커패시터 단자에서 바라본 테브난 저항 ($C = 0.3\text{ F}$):
$$R_{th} = 20\text{ k}\Omega \parallel 10\text{ k}\Omega = \frac{20}{3}\text{ k}\Omega$$
$$\tau = R_{th}C = \left(\frac{20 \times 10^3}{3}\right) \times 0.3 = 2000\text{ s}$$
■ 3단계: 과도 전압 $v_o(t)$ 수식 수립
• 1계 RC 과도 응답 일반해 대입:
$$v_o(t) = v_o(\infty) + [v_o(0^+) - v_o(\infty)]e^{-t/\tau} = 10 + (20 - 10)e^{-t/2000} = 10(e^{-t/2000} + 1)\text{ V}$$
■ 최종 결과:
• $v_o(t) = 10(e^{-t/2000} + 1)$ (②번)
• $t < 0$에서 SW2가 닫혀 있었으므로 커패시터 초기 전압:
$$v_o(0^+) = 20\text{ V}$$
• $t > 0$에서 SW1이 닫히고 SW2가 열린 후 정상 상태 도달 시 저항 $20\text{ k}\Omega, 10\text{ k}\Omega$에 의한 전압 분배:
$$v_o(\infty) = 30\text{ V} \times \frac{10\text{ k}\Omega}{20\text{ k}\Omega + 10\text{ k}\Omega} = 10\text{ V}$$
■ 2단계: 등가 저항 및 시정수($\tau$) 계산
• 커패시터 단자에서 바라본 테브난 저항 ($C = 0.3\text{ F}$):
$$R_{th} = 20\text{ k}\Omega \parallel 10\text{ k}\Omega = \frac{20}{3}\text{ k}\Omega$$
$$\tau = R_{th}C = \left(\frac{20 \times 10^3}{3}\right) \times 0.3 = 2000\text{ s}$$
■ 3단계: 과도 전압 $v_o(t)$ 수식 수립
• 1계 RC 과도 응답 일반해 대입:
$$v_o(t) = v_o(\infty) + [v_o(0^+) - v_o(\infty)]e^{-t/\tau} = 10 + (20 - 10)e^{-t/2000} = 10(e^{-t/2000} + 1)\text{ V}$$
■ 최종 결과:
• $v_o(t) = 10(e^{-t/2000} + 1)$ (②번)