두 평행판 사이에 공기가 채워져 있는 정전용량이 인 커패시터에 전극 간격의 1/3 두께를 가지는 유리판을 전극에 평행하게 넣는 경우 그 결과 얻어지는 정전 용량은 얼마인가? (단, 유리의 비유전율은 2라고 가정한다.)
2016년 지방직 9급 전자공학개론 1번
2016년도 시행 • 1번 문항
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정답: 2번
■ 1단계: 커패시터 유전체 삽입에 따른 직렬 모델 수립
• 원래 공기가 채워진 커패시터의 판 면적을 $S$, 전극 간격을 $d$라 하면 정전용량 $C_0$는 다음과 같습니다:
$$C_0 = \epsilon_0 \frac{S}{d}$$
• 전극 간격의 $1/3$ 두께를 가진 유리판(비유전율 $\epsilon_r = 2$)을 넣으면 두 커패시터의 직렬 결합으로 모델링됩니다:
- 유리판 부분 ($d_1 = d/3, \epsilon_1 = 2\epsilon_0$):
$$C_1 = \epsilon_1 \frac{S}{d_1} = (2\epsilon_0) \frac{S}{d/3} = 6 \epsilon_0 \frac{S}{d} = 6C_0$$
- 남은 공기 부분 ($d_2 = 2d/3, \epsilon_2 = \epsilon_0$):
$$C_2 = \epsilon_2 \frac{S}{d_2} = \epsilon_0 \frac{S}{2d/3} = 1.5 \epsilon_0 \frac{S}{d} = 1.5C_0$$
■ 2단계: 직렬 합성 정전용량($C_{\text{eq}}$) 계산
• 직렬 결합 공식 적용:
$$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{6C_0 \times 1.5C_0}{6C_0 + 1.5C_0} = \frac{9C_0^2}{7.5C_0} = 1.2C_0$$
• 초기 정전용량 $C_0 = 1\text{ }\mu\text{F}$를 대입하면 결과는 $1.2\text{ }\mu\text{F}$가 됩니다.
■ 최종 결과:
• 합성 정전용량은 1.2 [$\mu$F] (②번)
• 원래 공기가 채워진 커패시터의 판 면적을 $S$, 전극 간격을 $d$라 하면 정전용량 $C_0$는 다음과 같습니다:
$$C_0 = \epsilon_0 \frac{S}{d}$$
• 전극 간격의 $1/3$ 두께를 가진 유리판(비유전율 $\epsilon_r = 2$)을 넣으면 두 커패시터의 직렬 결합으로 모델링됩니다:
- 유리판 부분 ($d_1 = d/3, \epsilon_1 = 2\epsilon_0$):
$$C_1 = \epsilon_1 \frac{S}{d_1} = (2\epsilon_0) \frac{S}{d/3} = 6 \epsilon_0 \frac{S}{d} = 6C_0$$
- 남은 공기 부분 ($d_2 = 2d/3, \epsilon_2 = \epsilon_0$):
$$C_2 = \epsilon_2 \frac{S}{d_2} = \epsilon_0 \frac{S}{2d/3} = 1.5 \epsilon_0 \frac{S}{d} = 1.5C_0$$
■ 2단계: 직렬 합성 정전용량($C_{\text{eq}}$) 계산
• 직렬 결합 공식 적용:
$$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{6C_0 \times 1.5C_0}{6C_0 + 1.5C_0} = \frac{9C_0^2}{7.5C_0} = 1.2C_0$$
• 초기 정전용량 $C_0 = 1\text{ }\mu\text{F}$를 대입하면 결과는 $1.2\text{ }\mu\text{F}$가 됩니다.
■ 최종 결과:
• 합성 정전용량은 1.2 [$\mu$F] (②번)