2015년 통신이론 (지방직)

1단계: 나이키스트 표본화 주파수(Nyquist Rate) 계산 • 나이키스트 정리에 따라 대역제한 신호의 최고 주파수가 $f_{\max} = 3400\text{ [Hz]}$일 때, 에일리어싱 왜곡 없이 원 신호를 복원하기 위한 최소 표본화 주파수는 다음과 같습니다: $$f_s \ge 2 f_{\max} = 2 \times 3400 = 6800\text{ [Hz]}$$ • 표준 음성 PCM 전송 시스템에서는 가드밴드와 여파기 구현 용이성을 고려하여 $8000\text{ [Hz]}$(8 kHz)의 표본화 주파수를 사용합니다. 2단계: 표본화 시간 간격($T_s$) 판정 • 표본화 주파수가 $f_s = 8000\text{ [Hz]}$일 때의 표본화 간격: $$T_s = \frac{1}{f_s} = \frac{1}{8000}\text{ [sec]}$$ • 표본화 간격 $\frac{1}{8000}\text{ [sec]}$는 나이키스트 최소 한계 간격인 $\frac{1}{6800}\text{ [sec]}$보다 조밀하므로 완전한 신호 복원이 가능합니다. 최종 결과: • 적합한 표본화 시간 간격은 ④번($\frac{1}{8000}\text{ [sec]}$)입니다.

1단계: ITU 국제 표준 주파수 대역 구분 • VLF (Very Low Frequency, 초장파): 3 kHz ~ 30 kHz • LF (Low Frequency, 장파): 30 kHz ~ 300 kHz • MF (Medium Frequency, 중파): 300 kHz ~ 3 MHz • HF (High Frequency, 단파): 3 MHz ~ 30 MHz • VHF (Very High Frequency, 초단파): 30 MHz ~ 300 MHz • UHF (Ultra High Frequency, 극초단파): 300 MHz ~ 3 GHz 2단계: HF 대역 범위 판정 • 원거리 전리층 반사파 통신에 사용되는 HF(단파) 대역의 주파수 범위는 3[MHz] ~ 30[MHz]입니다. 최종 결과: • HF 대역에 해당하는 것은 ③번(3[MHz]~30[MHz])입니다.

1단계: DPSK 차동 부호화기(XOR 연산) 관계식 정의 • 입력 데이터 $d_k$와 이전 부호화 비트 $b_{k-1}$ 사이의 배타적 논리합(XOR) 관계: $$b_k = d_k \oplus b_{k-1}$$ • 초기값 $b_0 = 0$ 및 입력 비트열 $d = [0, 1, 0, 0, 1, 1]$ 2단계: 비트 단위 순차 연산 수행 • $k=1$: $b_1 = d_1 \oplus b_0 = 0 \oplus 0 = 0$ • $k=2$: $b_2 = d_2 \oplus b_1 = 1 \oplus 0 = 1$ • $k=3$: $b_3 = d_3 \oplus b_2 = 0 \oplus 1 = 1$ • $k=4$: $b_4 = d_4 \oplus b_3 = 0 \oplus 1 = 1$ • $k=5$: $b_5 = d_5 \oplus b_4 = 1 \oplus 1 = 0$ • $k=6$: $b_6 = d_6 \oplus b_5 = 1 \oplus 0 = 1$ • 따라서 출력 부호열 $b(t)$는 $0 \; 1 \; 1 \; 1 \; 0 \; 1$이 됩니다. 최종 결과: • 올바른 부호열은 ④번(0 1 1 1 0 1)입니다.

1단계: 개별 심볼의 자체 정보량 계산 • 확률이 $P(s_i)$인 심볼 $s_i$의 정보량 정의 $I(s_i) = -\log_2 P(s_i)$: $$I(s_1) = -\log_2(1/2) = 1\text{ [bits]}$$ $$I(s_2) = -\log_2(1/4) = 2\text{ [bits]}$$ $$I(s_3) = -\log_2(1/8) = 3\text{ [bits]}$$ $$I(s_4) = -\log_2(1/8) = 3\text{ [bits]}$$ 2단계: 합성 메시지 $X$의 총 정보량 산출 • 각 심볼이 상호 독립적으로 발생하므로 합성 메시지 $X = s_1 s_2 s_3 s_4$의 정보량은 개별 심볼 정보량들의 단순 합과 같습니다: $$I(X) = I(s_1) + I(s_2) + I(s_3) + I(s_4) = 1 + 2 + 3 + 3 = 9\text{ [bits]}$$ 최종 결과: • 합성 메시지의 정보량은 ①번(9[bits])입니다.

1단계: 각 신호의 주파수 스펙트럼 분석 • 임펄스 신호 $\delta(t)$: 푸리에 변환 시 $\mathcal{F}[\delta(t)] = 1$이 되어 직류부터 무한대까지 모든 주파수 대역에 걸쳐 균일한 크기를 가집니다. 따라서 주파수 대역폭은 무한대($\infty$)입니다. • 사인파 및 코사인파: 단일 주파수 $f_0$에만 스펙트럼 라인이 존재하는 협대역 정현파 신호입니다. • 직류(DC): 주파수 $f = 0$에만 존재하는 단일 주파수 성분 신호입니다. 2단계: 대역폭 비교 • 모든 주파수 성분을 포함하는 임펄스 신호의 주파수 대역폭이 가장 넓습니다. 최종 결과: • 가장 넓은 주파수 대역을 갖는 신호는 ①번(임펄스)입니다.

1단계: SSB(단측파대) 변조의 특성 분석 • SSB 변조는 DSB 신호의 대칭적인 두 측파대 중 하나(USB 또는 LSB)만 필터링하거나 위상 천이하여 전송하므로 소요 대역폭이 DSB의 절반으로 줄어듭니다. • 반송파와 불필요한 측파대를 전송하지 않으므로 송신기의 전력 소비가 DSB에 비해 매우 작고 전력 효율이 높습니다. 따라서 송신기의 소비 전력이 크다고 설명한 ②번은 옳지 않습니다. 2단계: 기타 보기 검토 • ①번: 상측파대 또는 하측파대 중 하나의 측파대만 전송합니다. (옳은 설명) • ③번: 수신단에서 국부 발진기를 통해 반송파 성분을 재삽입하면 포락선 검파기를 이용한 신호 복조가 가능합니다. (옳은 설명) • ④번: 신호 대역폭이 기저대역 대역폭 $W$와 같아 DSB 대역폭($2W$)의 절반입니다. (옳은 설명) 최종 결과: • 옳지 않은 설명은 ②번입니다.

1단계: 주기 신호의 직류(DC) 성분 정의 확인 • 기본 주기 $T$를 갖는 주기 신호 $x(t)$의 직류 성분 $a_0$는 한 주기 동안의 시간 평균값으로 정의됩니다: $$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T x(t) dt$$ 2단계: 펄스 파형의 면적 적분 및 계산 • 한 주기 $T$ 동안 진폭 $A$인 구간의 폭이 $\tau$이고 나머지 구간은 0이므로: $$\int_0^T x(t) dt = A \times \tau$$ • 따라서 직류 성분의 크기는 다음과 같습니다: $$a_0 = \frac{A\tau}{T}$$ 최종 결과: • 직류 성분의 크기는 ③번($\frac{A\tau}{T}$)입니다.

1단계: CDMA(코드분할 다중접속)의 신호 다중화 원리 분석 • CDMA 시스템은 모든 사용자가 동일한 주파수 대역과 동일한 시간 자원을 공유하여 전송합니다. • 사용자 간 신호 구분을 위해 각 사용자마다 상호 직교(Orthogonal)하거나 상관성이 매우 낮은 고유의 확산 코드(PN 코드)를 개별 할당합니다. • 모든 사용자가 동일한 코드를 사용할 경우 사용자별 신호를 분리해 낼 수 없으므로 ②번 설명은 옳지 않습니다. 2단계: 기타 보기 검토 • ①번: 고정된 슬롯이나 주파수 한계가 없어 잡음 수준에 따라 가용 용량이 결정되는 소프트 용량(Soft Capacity) 특성을 가집니다. (옳은 설명) • ③번: 대역확산 처리를 통해 협대역 간섭 및 다중 경로 페이딩에 대한 내성이 우수합니다. (옳은 설명) • ④번: 송수신 코드 간의 정확한 위상 동기 획득 및 추적을 위한 하드웨어 구성이 복잡합니다. (옳은 설명) 최종 결과: • 옳지 않은 설명은 ②번입니다.

1단계: 전압 비에 대한 데시벨 감쇠량 공식 수립 • 입력 전압 $V_{\text{in}}$에 대한 출력 전압 $V_{\text{out}}$의 데시벨 표현: $$\text{Gain [dB]} = 20 \log_{10}\left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right)$$ 2단계: 수치 대입 및 연산 • $V_{\text{in}} = 10\text{ [V]}$, $V_{\text{out}} = 1\text{ }[\mu\text{V}] = 10^{-6}\text{ [V]}$ 대입: $$20 \log_{10}\left(\frac{10^{-6}}{10}\right) = 20 \log_{10}(10^{-7}) = 20 \times (-7) = -140\text{ [dB]}$$ 최종 결과: • 감쇠 정도는 ④번(-140[dB])입니다.

1단계: 양자화 스텝 크기와 잡음 전력의 관계 분석 • 균일 양자화기에서 양자화 스텝 크기를 $\Delta$라 할 때 양자화 잡음 전력은 다음과 같습니다: $$N_q = \frac{\Delta^2}{12}$$ • 따라서 양자화 잡음을 줄이기 위해서는 스텝 크기 $\Delta$를 감소시켜야 합니다. 양자화 스텝 크기를 늘리면 양자화 잡음이 오히려 증가하므로 ③번은 옳지 않은 방법입니다. 2단계: 기타 보기 검토 • ①번: 표본당 부호화 비트 수 $n$을 늘리면 양자화 레벨 수 $L = 2^n$이 증가하여 스텝 크기 $\Delta$가 줄어들고 잡음이 감소합니다. (옳은 방법) • ②, ④번: 신호의 진폭 확률밀도에 맞추어 작은 신호 구간의 스텝을 좁게 만드는 비선형 양자화나 압신(Companding)을 적용하면 실효 양자화 잡음을 크게 낮출 수 있습니다. (옳은 방법) 최종 결과: • 옳지 않은 방법은 ③번입니다.

1단계: M진 변조의 심볼당 전송 비트 수 공식 적용 • $M$진 디지털 변조 방식에서 1개 심볼이 전송할 수 있는 비트 수 $k$는 다음과 같이 정의됩니다: $$k = \log_2 M\text{ [bits/symbol]}$$ 2단계: 수치 대입 및 계산 • $M = 256$진 QAM이므로: $$k = \log_2 256 = \log_2(2^8) = 8\text{ [bits]}$$ 최종 결과: • 동시에 전송 가능한 비트 수는 ①번(8[bits])입니다.

1단계: 정육각형 셀룰러 시스템의 클러스터 크기 공식 확인 • 정육각형 격자 배치 구조에서 동일 채널 간섭을 피하기 위해 주파수를 재사용하는 클러스터당 셀의 수 $N$ 공식: $$N = i^2 + i \cdot j + j^2$$ • 여기서 $i$와 $j$는 동일 주파수를 재사용하는 셀로 이동하기 위한 정육각형 격자 단위 이동 거리(정수)입니다. 2단계: 격자 이동 수 대입 및 계산 • 문제에서 $i = 3, j = 2$로 주어졌으므로: $$N = 3^2 + (3 \times 2) + 2^2 = 9 + 6 + 4 = 13$$ 최종 결과: • 클러스터당 주파수 재사용 셀의 개수는 ④번(13)입니다.

1단계: 힐버트 변환(Hilbert Transform)의 주파수 특성 분석 • 힐버트 변환 $\hat{x}(t)$의 주파수 응답 전달함수는 다음과 같습니다: $$H(f) = -j \text{sgn}(f) = \begin{cases} -j = e^{-j\pi/2}, & f > 0 \\ +j = e^{+j\pi/2}, & f < 0 \end{cases}$$ • 크기 스펙트럼은 $|H(f)| = 1$로 모든 주파수에서 진폭을 그대로 유지합니다. • 양의 주파수 성분은 $-90^\circ$, 음의 주파수 성분은 $+90^\circ$로 일정한 $90^\circ$ 위상 천이(移相)만을 수행합니다. 2단계: 통신 시스템 응용 확인 • 신호의 대역통과 표현(해석적 신호 구성) 및 SSB(단측파대) 변조 파형 생성 시 위상 천이기로 힐버트 변환이 필수적으로 사용됩니다. 최종 결과: • 위상만을 $90^\circ$ 변화시키기 위한 변환은 ②번(힐버트 변환)입니다.

1단계: 문제의 사전 확률 및 전이 확률 정리 • 송신 신호를 $X$, 수신 신호를 $Y$라 할 때: - 사전 확률: $P(X = 0) = 0.4$, $P(X = 1) = 0.6$ - 채널 전이 확률: $P(Y = 0 | X = 0) = 0.8$, $P(Y = 1 | X = 0) = 0.2$ - $P(Y = 1 | X = 1) = 0.8$, $P(Y = 0 | X = 1) = 0.2$ 2단계: 수신 신호가 0일 전확률 $P(Y = 0)$ 계산 • 전확률 정리를 적용합니다: $$P(Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0 | X = 0) + P(X = 1)P(Y = 0 | X = 1)$$ $$P(Y = 0) = (0.4 \times 0.8) + (0.6 \times 0.2) = 0.32 + 0.12 = 0.44$$ 3단계: 베이즈 정리(Bayes' Rule)를 이용한 사후 확률 계산 • 0을 수신했을 때 원래 0을 송신했을 확률: $$P(X = 0 | Y = 0) = \frac{P(X = 0)P(Y = 0 | X = 0)}{P(Y = 0)} = \frac{0.32}{0.44} = \frac{8}{11} \approx 0.727 \approx 0.73$$ 최종 결과: • 구하는 사후 확률은 약 ②번(0.73)입니다.

1단계: 컨벌루션 적분식 및 신호 영역 정의 • 두 신호의 컨벌루션 연산: $$z(t) = x(t) * y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) y(t - \tau) d\tau$$ • $x(\tau)$는 $-1/2 \le \tau \le 1/2$에서 높이 1을 가지며 폭이 1인 펄스입니다. • $y(t - \tau)$는 $-1/2 \le t - \tau \le 1/2 \implies t - 1/2 \le \tau \le t + 1/2$에서 높이 1인 펄스입니다. 2단계: $-1 \le t \le 0$ 구간에서의 중첩 영역 적분 • $t$가 $-1$에서 $0$ 사이의 값을 가질 때, 두 펄스가 겹치는 유효 적분 구간은 $[-1/2, t + 1/2]$입니다: $$z(t) = \int_{-1/2}^{t + 1/2} 1 \cdot 1 \, d\tau = (t + 1/2) - (-1/2) = t + 1 = 1 + t$$ 최종 결과: • $-1 \le t \le 0$ 범위에서의 계산값은 ③번($1 + t$)입니다.

1단계: FM 표준 수식과 파라미터 비교 분석 • 단일 톤 주파수 변조 신호의 표준식: $$x(t) = A_c \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$$ • 주어진 신호 수식: $$x(t) = 10 \cos[10^6 \pi t + 8 \sin(10^3 \pi t)]$$ • 반송파 진폭 $A_c = 10\text{ [V]}$ • 메시지 신호 주파수 $2\pi f_m = 10^3 \pi \implies f_m = 500\text{ [Hz]} = 0.5\text{ [kHz]}$ • 변조지수 $\beta = 8$ (②번 설명은 옳지 않음) 2단계: 주파수 편이, 대역폭 및 평균 전력 계산 • 최대 주파수 편이: $$\Delta f = \beta \cdot f_m = 8 \times 0.5\text{ [kHz]} = 4\text{ [kHz]} \quad (\text{③번 설명은 옳지 않음})$$ • 카슨(Carson)의 법칙에 따른 점유 대역폭: $$B = 2(\Delta f + f_m) = 2(4\text{ kHz} + 0.5\text{ kHz}) = 2 \times 4.5\text{ kHz} = 9\text{ [kHz]} \quad (\text{①번 설명 옳음})$$ • FM 신호의 평균 전력: $$P = \frac{A_c^2}{2} = \frac{10^2}{2} = 50\text{ [W]} \quad (\text{④번 설명은 옳지 않음})$$ 최종 결과: • 올바른 설명은 ①번(Carson 법칙을 이용한 주파수대역은 9[kHz]이다)입니다.

1단계: 변조 정리(Modulation Property) 확인 • 오일러 공식에 의해 $\cos(2\pi f_0 t) = \frac{1}{2}(e^{j 2\pi f_0 t} + e^{-j 2\pi f_0 t})$이므로, 코사인 반송파가 곱해진 신호의 푸리에 변환: $$\mathcal{F}[x(t) \cos(2\pi f_0 t)] = \frac{1}{2} X(f - f_0) + \frac{1}{2} X(f + f_0)$$ • 따라서 ②번 변환쌍은 올바릅니다. 2단계: 기타 보기 오류 분석 • ①번 시간 스케일링 정리: 분모에 절댓값이 적용되어야 하므로 $\frac{1}{|a|} X\left(\frac{f}{a}\right)$이어야 합니다. • ③번 직류 신호 변환: 직류 상수 $A$의 푸리에 변환은 델타 함수 $A \delta(f)$입니다. • ④번 주파수 이동 정리: 복소 지수 $e^{j 2\pi f_0 t}$ 곱셈은 주파수 축에서 $+f_0$만큼 이동하므로 $X(f - f_0)$이어야 합니다. 최종 결과: • 올바른 푸리에 변환쌍은 ②번입니다.

1단계: 다중접속(Multiple Access) 방식별 채널 분할 기준 분석 • FDMA(주파수분할 다중접속): 주파수 대역을 서로 다른 반송파 주파수 채널로 분할하여 사용자 신호를 분리합니다. • CDMA(코드분할 다중접속): 동일한 주파수와 시간 대역에서 사용자마다 상호 직교 또는 유사직교 확산 부호(코드)를 부여하여 신호를 분리합니다. • TDMA(시간분할 다중접속): 동일한 주파수 채널을 시간 영역에서 여러 개의 '시간 슬롯(Time Slot)'으로 주기적으로 분할 할당하여 각 사용자를 구별합니다. 최종 결과: • TDMA 시스템에서 사용자별 데이터를 구별하기 위해 사용하는 것은 ④번(시간슬롯)입니다.

1단계: 수신 비트열 및 해밍 코드 비트 위치 확인 • 수신된 7비트 열: $P_1 P_2 D_3 P_4 D_5 D_6 D_7 = 0101101$ • 위치별 비트 값: - 1번 비트: $P_1 = 0$ - 2번 비트: $P_2 = 1$ - 3번 비트: $D_3 = 0$ - 4번 비트: $P_4 = 1$ - 5번 비트: $D_5 = 1$ - 6번 비트: $D_6 = 0$ - 7번 비트: $D_7 = 1$ 2단계: 짝수 패리티 신드롬(Syndrome) 비트 연산 • 1의 자리 비트 체크 ($C_1$, 비트 위치 1, 3, 5, 7): $$C_1 = P_1 \oplus D_3 \oplus D_5 \oplus D_7 = 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 0$$ • 2의 자리 비트 체크 ($C_2$, 비트 위치 2, 3, 6, 7): $$C_2 = P_2 \oplus D_3 \oplus D_6 \oplus D_7 = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 0$$ • 4의 자리 비트 체크 ($C_4$, 비트 위치 4, 5, 6, 7): $$C_4 = P_4 \oplus D_5 \oplus D_6 \oplus D_7 = 1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 1$$ 3단계: 오류 비트 위치 도출 • 신드롬 벡터 $S = (C_4 C_2 C_1)_2 = (100)_2 = 4$ • 신드롬 값이 4이므로, 4번째 비트 위치인 $P_4$에 단일 비트 오류가 발생했습니다. 최종 결과: • 에러가 발생한 비트 위치는 ②번($P_4$)입니다.

1단계: 정합 필터의 임펄스 응답 및 출력 파형 성질 분석 • 정합 필터(Matched Filter)의 임펄스 응답은 $h(t) = s(T - t)$로 입력 신호의 시간 역전 및 지연 형태입니다. • 신호 $s(t)$가 펄스 폭이 $T$인 구형파일 경우, $h(t)$ 역시 동일한 폭 $T$를 갖는 구형파가 됩니다. • 폭이 $T$로 동일한 두 구형파의 컨벌루션(Convolution) 연산 결과는 지속 시간 $2T$를 가지며 $t = T$에서 첨두값을 갖는 대칭 삼각파(Triangular Wave) 형태로 나타납니다. 따라서 ④번 설명은 옳습니다. 2단계: 기타 보기 오류 분석 • ①번: 신호대잡음비(SNR)를 최대화하기 위해 정확한 위상과 타이밍 정보를 필요로 하는 동기 검파(상관 검파) 방식입니다. • ②번: 정합 필터는 수학적으로 동등한 곱셈기와 적분기(Integrator)로 구성된 상관기(Correlator) 회로로 구현됩니다. • ③번: 정합 필터의 출력 피크 신호 크기 및 에너지는 입력 펄스의 총 에너지 $E$에 정비례합니다. 최종 결과: • 올바른 설명은 ④번입니다.